大一复习计划(3/)(3/\infty)

第十章 重积分


第一,二节 二重积分 及其计算

  1. Df(x,y)dσ=limλ0i=1nf(ξi,ηi)Δσi\iint_D f(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda \to 0}{\sum_{i=1}^n{f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i}}

    1. 利用直角坐标计算二重积分

      Df(x,y)dxdy\iint_D f(x,y)d x d y 其中 dxdyd x d y 叫做 直角坐标中的面积元素

    2. 利用极坐标计算二重积分

      Df(x,y)dσ=lim(λ0)i=1nf(ξi,ηi)dσi=Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ\iint_D f(x,y)d \sigma=\lim_(\lambda \to 0)\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)d \sigma_i=\iint_D f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d \theta 注意 多了一个 ρ\rho

第三节 三重积分

  1. Ωf(x,y,z)dv=lim(λ0)i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi\iiint_\Omega f(x,y,z)d v=\lim_(\lambda \to0)\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i

    1. 直角坐标中的体积元素

      Ωf(x,y,z)dxdydz\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz

    2. 柱面坐标计算三重积分

      {x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z\begin{cases} x=\rho\cos\theta,\\ y=\rho\sin\theta,\\ z=z \end{cases}

      Ωf(x,y,z)=ΩF(ρ,θ,z)ρdρdθdz\iiint_\Omega f(x,y,z)=\iiint_\Omega F(\rho,\theta,z)\rho d\rho d\theta dz

      注意 多了一个 ρ\rho

    3. 球面坐标计算三重积分

      {x=rsinφcosθy=rcosφsinθz=rcosφ\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\cos\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi \end{cases}

      Ωf(x,y,z)=ΩF(r,φ,θ)r2sinθdrdφdθ\iiint_\Omega f(x,y,z)=\iiint_\Omega F(r,\varphi,\theta)r^2\sin\theta dr d\varphi d\theta

第四节 重积分的应用

  1. 曲面的面积

    A=D1+(zx)2+(zy)2dxdyA=\iint_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} dxdy

  2. 质心

    xˉ=Dxμ(x,y)dσDμ(x,y)dσyˉ=Dyμ(x,y)dσDμ(x,y)dσ\bar{x}=\frac{\iint_D x\mu(x,y)d \sigma}{\iint_D \mu(x,y)d \sigma} \\ \bar{y}=\frac{\iint_D y\mu(x,y)d \sigma}{\iint_D \mu(x,y)d \sigma}

  3. 转动惯量

    Ix=Dy2μ(x,y)dσ,Iy=Dx2μ(x,y)dσI_x=\iint_D y^2\mu(x,y)d\sigma,I_y=\iint_D x^2\mu(x,y)d\sigma

    若是在三维坐标系中

    Ix=Ω(y2+z2)ρ(x,y,z)dvIy=Ω(x2+z2)ρ(x,y,z)dvIz=Ω(x2+y2)ρ(x,y,z)dvI_x=\iiint_\Omega(y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv \\I_y=\iiint_\Omega(x^2+z^2)\rho(x,y,z)dv \\I_z=\iiint_\Omega(x^2+y^2)\rho(x,y,z)dv \\

  4. 引力

    肯定不考 不学