大一复习计划(2/)(2/\infty)

第九章 多元函数微分法及其应用


第一节 多元函数的基本概念

  1. 当 f(x)f(x) 在0点无定义时,应该将y=kxy=kx 带入式子判断 kk  对极限的影响,而如果极限与 kk 有关时,极限不存在

第二节 偏导数

  1. zx=fx(x,y)  zy=fy(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y)\ \ \frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y)
  2. 混合偏导 对求导顺序无要求 (在区域D中连续)

第三节 全微分

lim(x,y(0,0))f(x+x,y+y)=limρ0[f(x,y)+z]=f(x,y)\lim_{(\partial x,\partial y \to (0,0))}f(x+\partial x,y+\partial y)=\lim_{\rho \to 0}[f(x,y)+\partial z]=f(x,y)

全微分在近似运算中的应用

f(x+x,y+y)f(x,y)+fx(x,y)x+fy(x,y)yf(x+\partial x,y+\partial y) \approx f(x,y)+f_x(x,y)\partial x +f_y(x,y)\partial y

第四节 多元复合函数的求导法则

z=f(u,v);fx(u,v)=zuuxfy(u,v)=zuuy+zvdvdy令 z= f(u,v);\\ f_x(u,v)=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\\f_y(u,v)=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{d v}{d y}

求到底 加起来

切记 如果 是有多个变量 则使用  (x)\partial \ (x) 如果只有一个变量 则使用 d (y)d\ (y)

第五节 隐函数求导

  1. 一般形式

    dydx=FxFy\frac{d y}{d x}=-\frac{F_x}{F_y}

    推导流程

    F(x,f(x))=0F(x,f(x))=0\\

    全导数:

    Fx+Fydydx=0 dydx=FxFy\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{d y}{d x}=0\\ \ \frac{d y}{d x}=-\frac{F_x}{F_y}

  2. {F(x,y,u.v)=0G(x,y,u,v)=0\begin{cases}F(x,y,u.v)=0\\G(x,y,u,v)=0 \end{cases}

    1. 雅克比行列式:

      J=(F,G)(u.v)=FuFvGuGvJ=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u.v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v}\\\frac{\partial G}{\partial u} &\frac{\partial G}{\partial v}\end{vmatrix}

      记住就好

      ux=1J(F,G)(x,v)=FxFvGxGvFuFvGuGvvx=1J(F,G)(u,x)=FuFxGuGxFuFvGuGvvx=1J(F,G)(y,v)=FyFvGyGvFuFvGuGvvx=1J(F,G)(u,y)=FuFyGuGyFuFvGuGv\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_x & F_v \\G_x & G_v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u & F_v \\G_u & G_v\end{vmatrix}}\\\\\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u & F_x \\G_u & G_x\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u &F_v \\G_u & G_v\end{vmatrix}}\\ \\\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}=-\frac{ \begin{vmatrix}F_y & F_v \\G_y &G_v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u & F_v \\G_u & G_v\end{vmatrix}}\\ \\\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u & F_y \\G_u & G_y\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u &F_v \\G_u & G_v\end{vmatrix}}

    上面的式子 总结成一句话 就是 你要求谁对谁的导数就把 雅克比行列式中的 对应元素 替换掉即可

    第六节 多元函数微分几何学

    1. 导向量: limtt0ΔrΔt=limΔt0f(t0+Δt)f(t0)Δt\lim_{t \to t_0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}

      在对曲线的积分中 导向量 就是 切向量,比之长度 就是单位切向量.

    2. 空间曲线的切线和法平面

      参数方程形式1:

      {x=φ(t)y=ψ(t)   t[α,β]z=ω(t)\begin{cases} x=\varphi (t) \\ y=\psi(t) \ \ \ t\in[\alpha,\beta] \\ z=\omega(t) \\ \end{cases}

      由导向量可知 r=f(t0)=(φ(t0),ψ(t0),ω(t0))r=f'(t_0)=(\varphi' (t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0))

      对应的切线方程就是:

      xx0φ(t0)=yy0ψ(t0)=zz0φ(t0)\frac{x-x_0}{\varphi'(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\frac{z-z_0}{\varphi'(t_0)}

      对应的法平面方程是:

      φ(t0)(xx0)+ψ(t0)(yy0)+ω(t0)(zz0)=0\varphi'(t_0)(x-x_0)+\psi'(t_0)(y-y_0)+\omega'(t_0)(z-z_0)=0

      参数方程形式2:

      {y=φ(x)z=ψ(x)\begin{cases} y=\varphi (x) \\ z=\psi(x) \end{cases}

      可以转化为 :

      {x=xy=φ(x)z=ψ(x)\begin{cases} x= x\\ y=\varphi (x) \\ z=\psi(x) \end{cases}

      由形式一可得:

      对应的切线方程就是:

      xx01=yy0φ(x0)=zz0ψ(x0)\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{\varphi'(x_0)}=\frac{z-z_0}{\psi'(x_0)}

      对应的法平面方程是:

      (xx0)+φ(x0)(yy0)+ψ(x0)(zz0)=0(x-x_0)+\varphi'(x_0)(y-y_0)+\psi'(x_0)(z-z_0)=0

      参数方程形式3:

      {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}

      不会 打赌不考

    3. 曲面的切平面 和法线

      F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0

      参数方程形式1:

      (Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z))(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)) 是它的法向量 相应的:

      它的 切平面是

      Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0

      法线方程是:

      xx0Fx(x0,y0,z0)=yy0Fy(x0,y0,z0)=zz0Fz(x0,y0,z0)\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}

      参数方程形式2:

      z=f(x,y)F(x,y,z)=f(x,y)zz=f(x,y)\\ F(x,y,z)=f(x,y)-z\\ \\

      所以 切平面方程是:

      fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)(zz0)=0f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0

      法线方程是:

      xx0fx(x0,y0)=yy0fy(x0,y0)=zz01\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}

      规定 法向量的方向是向上的 所以 用 α,β,γ\alpha ,\beta,\gamma 来表示法向量的方向角

      α=fx1+fx2+fy2,β=fy1+fx2+fy2,γ=11+fx2+fy2\alpha=-\frac{f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},\beta=-\frac{f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}

      因为 x,yzx,y与z 不同号 所以 γ\gamma 为正 则 α,β\alpha ,\beta 为负.

      第七节 方向导数与梯度

      1. 方向

        α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 分别为 方向 llx,y,zx,y,z 轴的夹角.

        方向向量:

        e=(cosα,cosβ,cosγ)\boldsymbol{e}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)

        方向导数:

        fl(x0.y0.z0)=fx(x0,y0,z0)cosα+fy(x0,y0,z0)cosβ+fz(x0,y0,z0)cosγ\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0.y_0.z_0)}=f_x(x_0,y_0,z_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0,z_0)\cos\beta+f_z(x_0,y_0,z_0)\cos\gamma

        算就对了

      2. 梯度

        grad f(x0,y0)=f(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j\boldsymbol{grad}\ f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\boldsymbol{i}+f_y(x_0,y_0)\boldsymbol{j}

        f(x0,y0)\nabla f(x_0,y_0) 为 Nabla 算子.

        fl(x0.y0.z0)=f(x0,y0,z0)e=fx(x0,y0,z0)cosα+fy(x0,y0,z0)cosβ+fz(x0,y0,z0)cosγ\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0.y_0.z_0)}=\nabla f(x_0,y_0,z_0)\bullet\boldsymbol{e}=f_x(x_0,y_0,z_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0,z_0)\cos\beta+f_z(x_0,y_0,z_0)\cos\gamma

      第八节 多元函数的极值及其求法

      1. 多元函数极值 及 最大值 最小值

        1. 先求一阶导 确定一切驻点

          对于二元函数:

          fz(x0,y0)=0,fy(xo,y0)=0f_z(x_0,y_0)=0,f_y(x_o,y_0)=0

        2. fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=Cf_{x x}(x_0,y_0)=A,f_{x y}(x_0,y_0)=B,f_{y y}(x_0,y_0)=C 当:

          (1)ACB2>0A C-B^2 \gt 0

          1. A<0A \lt 0 时 有极大值
          2. A>0A \gt 0 时 有极小值

          (2)ACB2<0A C-B^2 \lt 0 没有极值

          (3)ACB2=0A C-B^2 =0 可能有 可能没有 另作讨论

      2. 条件极值 拉格朗日乘数法

        1. 找条件 φ\varphi
        2. {fx(x,y)+λφx(x,y)=0fy(x,y)+λφy(x,y)=0φ(x,y)=0\begin{cases} f_x(x,y)+\lambda\varphi_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)+\lambda\varphi_y(x,y)=0\\ \varphi(x,y)=0 \\ \end{cases}
        3. λ\lambda